针对轻度刮擦事故后肇事逃逸的情况，可采取如下措施进行妥善处置：
首先，当事人有权向交通管理部门进行报案，请求交通管理部门对逃逸者展开追捕行动；
其次，由于逃逸者应对此次事故负有全责，因此受害方有权要求逃逸者进行相应的经济赔偿；
最后，交通管理部门有权对逃逸者处以二百元至二千元不等的罚款，同时还可以依法对其处以十五天以内的行政拘留处罚。

《道路交通安全法》第七十一条车辆发生交通事故后逃逸的，事故现场目击人员和其他知情人员应当向公安机关交通管理部门或者交通警察举报。举报属实的，公安机关交通管理部门应当给予奖励。