根据《中华人民共和国刑法》的相关条款以及《中华人民共和国道路交通安全法实施条例》中的第九十二条规定，倘若一位驾驶员在酒后驾驶过程中再加上冲卡并导致事故后逃离现场，那么他或她将很有可能被认定为是“交通运输肇事后逃逸”，这种情形被视为极其严重。
因此，这位肇事者可能将会面临着至少三年以上、最长达七年以下的有期徒刑惩罚。
除此之外，《中华人民共和国道路交通安全法实施条例》的第九十二条还明确规定了事故发生后若当事人选择逃避责任，他们应该承担的相应法律责任。
但在此种状况下，酒后驾驶及冲卡行为本身就已构成重大违法违规，因此，一般情况下并不允许因对方存在过错就可以减轻其应负的法律责任。

《中华人民共和国刑法》第一百三十三条
违反交通运输管理法规，因而发生重大事故，致人重伤、死亡或者使公私财产遭受重大损失的，处三年以下有期徒刑或者拘役；
交通运输肇事后逃逸或者有其他特别恶劣情节的，处三年以上七年以下有期徒刑；
因逃逸致人死亡的，处七年以上有期徒刑。