关于因醉酒驾驶引发交通事故且逃跑所应承担的法律责任如下：
1.如果交通事故情节较轻，尚未达到犯罪程度，行为人应当为其违法行为承担相应的行政责任；
依据我国《道路交通安全法》第九十九条之规定，在交通事故发生后，行为人逃离现场，但尚未构成犯罪的，由公安机关交通管理部门对其处以二百元至二千元不等的罚款，同时可给予十五日以下的拘留处罚。
2.倘若交通事故严重，已构成交通肇事罪，那么行为人将面临刑事责任追究；
根据《中华人民共和国刑法》第一百三十三条之规定，行为人如因违反交通运输管理法规而导致重大交通事故，致使他人重伤、死亡或使公共财产遭受重大损失的，将被判处三年以下有期徒刑或拘役；
若行为人在交通运输肇事后逃逸，或存在其他特别恶劣情节的，则将被判处三年以上七年以下有期徒刑；
若行为人因逃逸行为导致他人死亡的，将被判处七年以上有期徒刑。

《刑法》第一百三十三条【交通肇事罪】违反交通运输管理法规，因而发生重大事故，致人重伤、死亡或者使公私财产遭受重大损失的，处三年以下有期徒刑或者拘役；交通运输肇事后逃逸或者有其他特别恶劣情节的，处三年以上七年以下有期徒刑；因逃逸致人死亡的，处七年以上有期徒刑。