关于保险公司是否有义务支付精神损害赔偿金这一问题，必须依据具体案情来进行斟酌和判定。在某些特定案件中，如当事人或其近亲属要求承保了交通强制责任保险的保险公司优先对其所遭受的精神伤害进行赔偿时，人民法院应对此予以支持，并判令该保险公司需向被侵权方支付相应的精神损害赔偿金。
然而，对于涉及到车祸事故后向对方支付精神损失费用的情形，保险公司通常并不承担此类赔偿责任。

《最高人民法院关于国家赔偿司法解释(11-20)》第二十一条
多辆机动车发生交通事故造成第三人损害，损失超出各机动车交强险责任限额之和的，由各保险公司在各自责任限额范围内承担赔偿责任;损失未超出各机动车交强险责任限额之和，当事人请求由各保险公司按照其责任限额与责任限额之和的比例承担赔偿责任的，人民法院应予支持。依法分别投保交强险的牵引车和挂车连接使用时发生交通事故造成第三人损害，当事人请求由各保险公司在各自的责任限额范围内平均赔偿的，人民法院应予支持。多辆机动车发生交通事故造成第三人损害，其中部分机动车未投保交强险，当事人请求先由已承保交强险的保险公司在责任限额范围内予以赔偿的，人民法院应予支持。保险公司就超出其应承担的部分向未投保交强险的投保义务人或者侵权人行使追偿权的，人民法院应予支持。