当驾驶员驾驶逃逸时，根据相关法律规定，保险公司仅对其缴纳的交强险部分承担赔付责任。
首先，虽然存在逃逸行为，但是如果投保者已经购买了交强险，那么即便其构成了交通肇事罪，保险公司也必须履行法定的赔偿义务；
然而，对于其他类型的商业保险来说，这种情况通常会被认为是“肇事逃逸”，并被列入保险合同中的免责条款之中，因此，除非合同中有特殊约定，否则保险公司视情不承担理赔责任。事故发生之后，若被保险人或驾驶人员在未按照法律规定采取任何有效措施的前提下，擅自驾驶保险车辆或遗弃保险车辆逃离事故现场，或者故意破坏、伪造现场、毁灭现场证据等行为，均属于保险人不予赔偿的范畴。
此外，如果违反交通运输管理法规，导致重大事故发生，造成他人重伤、死亡或者使公共财产和私人财产遭受严重损失的，将面临三年以下有期徒刑或者拘役的处罚；而对于那些在交通运输肇事后逃逸或者具有其他特别恶劣情节的，则可能被判处三年以上七年以下有期徒刑；
至于因逃逸行为导致他人死亡的，则将面临七年以上有期徒刑的严厉惩罚。

《中华人民共和国民法典》
第一千二百一十六条机动车驾驶人发生交通事故后逃逸，该机动车参加强制保险的，由保险人在机动车强制保险责任限额范围内予以赔偿;机动车不明、该机动车未参加强制保险或者抢救费用超过机动车强制保险责任限额，需要支付被侵权人人身伤亡的抢救、丧葬等费用的，由道路交通事故社会救助基金垫付。道路交通事故社会救助基金垫付后，其管理机构有权向交通事故责任人追偿。