在此情景下，倘若交通事故私自解决后，对方未能履行赔偿责任，您首先应尝试与之进行再次的沟通和协商，以清晰无误地告知其所应当承担的具体赔偿义务。
若经双方努力，仍然无法达成共识，为保护自身的合法权益，您务必妥善保管在私下和解过程中的各项关键证据，例如协议文本、现场照片以及相关的聊天记录等等。
随后，您可依法向当地法院提出民事诉讼请求，借助法律手段实现维权目的。

《中华人民共和国民法典》第一千一百七十九条
侵害他人造成人身损害的，应当赔偿医疗费、护理费、交通费、营养费、住院伙食补助费等为治疗和康复支出的合理费用，以及因误工减少的收入。造成残疾的，还应当赔偿辅助器具费和残疾赔偿金；造成死亡的，还应当赔偿丧葬费和死亡赔偿金。