一般的情况下，由斗殴双方自愿协商并达成的私人和解协议在法律层面上被认为是具备有效性的。
这种和解协议可以被视为一种民事合同，只要其满足了以下几个基本条件，便能够获得法律的认可与保护：
第一，双方具备独立的民事行为能力；
第二，表达意愿的过程中不受欺诈或其他非法手段的干扰，意思表示必须真实；
第三，和解协议内容不得违反现行法律法规中的强制性规定，同时也不能有悖伦理道德或社会公共秩序。
然而，需要注意到的是，若因斗殴导致的后果极为严重，甚至已经触犯到了刑事犯罪的边界，如受害人的伤害程度已达到了轻伤级别及其以上，即便当事人私下达成和解协议，司法机构仍然有权依据事实以进行刑事调查与起诉。
但是，和解的积极态度以及赔偿措施等因素会在量刑阶段被视作减轻处罚的重要参考。
所以，总的来说，尽管和解协议对针对民事赔偿等问题具有一定的约束力，但这并不意味着刑事追诉的可能性就完全被排除了。