当某公司依法终止运营之后，对于遗留下来的债务，其偿付要求通常需遵守如下的法律规定及原则性规律：
首先，在大部分情况之下，公司都必须以其所有合法拥有的财产，来负责履行与之相匹配的债务责任。
然而，若公司的现有财产无法完全覆盖其全部债务，那么在这种情况下，对于有限责任公司的股东而言，他们仅需要以其实际缴纳的出资额为上限，来承担公司的债务责任；
而对于股份有限公司的股东来说，他们则只需以其认购的股份数量为上限，来承担公司的债务责任。
其次，在公司进行清算的过程中，清算小组有义务按照相关法律法规的规定，有序地清理公司的各项财产，并分别编制出详细的资产负债表和财产清单，同时还需要向债权人发出正式的通知和公告，以便债权人能够及时了解到公司的财务状况。
此外，清算小组还需要妥善处理与清算工作相关的公司尚未结束的业务事项，如清缴所拖欠的税款以及清算过程中所产生的税款，清理公司的债权、债务关系，处理公司在清偿完所有债务之后的剩余财产等等。

《中华人民共和国公司法》第一百八十四条
清算组在清算期间行使下列职权：
（一）清理公司财产，分别编制资产负债表和财产清单；
（二）通知、公告债权人；
（三）处理与清算有关的公司未了结的业务；
（四）清缴所欠税款以及清算过程中产生的税款；
（五）清理债权、债务；
（六）处理公司清偿债务后的剩余财产；
（七）代表公司参与民事诉讼活动。