倘若父母未能按照法律规定或者在子女成年后仍应负有的法定义务，拒绝承担抚养费用，那么，被抚养的子女本人或者担任子女法定监护人的一方有权首先尝试通过友好协商的方式，与未尽到抚养责任的另一方进行交涉，请求他们依照法律规定切实履行自己的抚养职责。
然而，若协商依然没能解决问题，则其可选择向相关司法机构提出诉讼。
在这种情况下，法院将依据被抚养子女的实际需求、父母双方的经济承受能力以及当地社会的实际生活水平等多方面因素，综合考虑并最终确定抚养费用的具体金额。
对于那些故意拒绝执行法院判决的当事人，他们有权利申请强制执行以维护自身合法权益。

《中华人民共和国民法典》第一千零八十五条
离婚后，子女由一方直接抚养的，另一方应当负担部分或者全部抚养费。负担费用的多少和期限的长短，由双方协议；协议不成的，由人民法院判决。
前款规定的协议或者判决，不妨碍子女在必要时向父母任何一方提出超过协议或者判决原定数额的合理要求。