若离婚之后再行争夺孩子的抚养权，通常情况下并无向对方索取赔偿的权利。
此外，如若符合特定的条件，当然也有权向法院提起诉讼，请求变动抚养权。
根据中华人民共和国相关的法律法规明文规定，具备下列任何一种情形，父母双方均可请求更改子女的抚养关系，且我国法院会予以支持:

（1）在子女和其中一位父母共同生活的过程中，由于某种原因导致这位父母患有严重的疾病或是身体残疾，以至于无法再继续承担抚养责任;

（2）在子女和其中一位父母共同生活的过程中，这位父母没有尽到相应的抚养责任，甚至存在虐待子女的恶劣行为，或者其与子女共同生活时，对子女的身心健康产生了实质性的负面影响;

（3）当子女年满八周岁，愿意跟随另一方生活，而此另一方的确具有抚养能力;

（4）如果存在除了上述之外的相关合理理由，需要进行抚养权的调整。

最高人民法院关于适用《中华人民共和国民法典》婚姻家庭编的解释（一）第五十七条
父母双方协议变更子女抚养关系的，人民法院应予支持。