在离婚之后面临前夫拒绝负担孩子抚养费用问题时，可采取以下两种途径进行解决:
首先，若双方是通过和解方式达成离婚协议且涉及到抚养权问题，那么不直接负责抚养孩子的一方就有资格拒绝承担抚养费用，然而对于这种情况，另一方可向人民法院提出诉讼，将原有的离婚协议书作为有力证据，以此来呼吁法院判定对方履行应尽的法律责任;
其次，如果是通过诉讼方式解决离婚事宜，其中某位当事人坚决不予执行法院判决应负担的每月抚养费用，那另一方则有权直接向人民法院提出强制执行的要求。

《民法典》第一千零八十五条
离婚后，子女由一方直接抚养的，另一方应当负担部分或者全部抚养费。负担费用的多少和期限的长短，由双方协议；协议不成的，由人民法院判决。
前款规定的协议或者判决，不妨碍子女在必要时向父母任何一方提出超过协议或者判决原定数额的合理要求。