在缺乏继承人且没有遗嘱留下的情况下，若该遗产未被合法继承，则依法应由国有单位接管，主要应用于各项公益事业之需；
而若先逝者曾经为集体所有制组织中的一员，依照法则，相应遗产便归属其所属的集体所有制组织所有。
这就意味着，当债务人身故之后，倘若其遗产既无继承人继承，亦无遗嘱留下，那么根据相关法律法规，这些遗产将会被国有单位或其所属的集体所有制组织所接管，并主要用于公益事业或者其他合法目的。
因此，在债务人身故之后，其遗产的分配将严格遵循上述法律规定进行。

《中华人民共和国民法典》第一千一百六十条
无人继承又无人受遗赠的遗产，归国家所有，用于公益事业；死者生前是集体所有制组织成员的，归所在集体所有制组织所有。