根据相关法律法规，继承人在获取其祖先留下的遗产时，应以该遗产的实际市值作为上限，来偿还先人应当缴纳的各类税费以及债务。
在这种情况下，继承人仅需动用遗产中的财物来支付这些债务，若遗产的总价值无法完全覆盖所有的债务，继承人有权选择不承担超过遗产价值的那部分债务。
倘若继承人选择放弃继承权，那么他们便无需承担偿还先人债务的义务。
因此，当债务人离世之后，继承人只需使用他们所继承的遗产来偿还债务，若遗产价值不足以支付全部债务，继承人则有权利选择不承担超过遗产价值的那部分债务。
如果继承人选择放弃继承，他们将无需承担任何偿还责任。

《中华人民共和国民法典》第一千一百六十一条
继承人以所得遗产实际价值为限清偿被继承人依法应当缴纳的税款和债务。超过遗产实际价值部分，继承人自愿偿还的不在此限。
继承人放弃继承的，对被继承人依法应当缴纳的税款和债务可以不负清偿责任。