当生命结束之际，银行储蓄存款应首先由合法的第一顺序继承人（包含了父母、子女以及配偶等所有人），亲自前往所在地的公证机关申请办理继承证明文书，以确保确立死亡人士生前的财产分配规约。接下来，继承存款权益的相关当事人需要携带自身的有效身份证明文件及公证文件，赴银行机构提取相应的存款资产便可以顺利完成。若已掌握了存款密码，继承人则可以直接在自助提款机上进行取款或者转账操作，这将被视作是正常的支取或转账行为。
然而，倘若在此之后出现了继承方面的争议与纷争，银行并不承担任何法律责任。

《民法典》第一千一百二十三条
继承开始后，按照法定继承办理；有遗嘱的，按照遗嘱继承或者遗赠办理；有遗赠扶养协议的，按照协议办理。
第一千一百二十七条第一、二款
遗产按照下列顺序继承：
（一）第一顺序：配偶、子女、父母；
（二）第二顺序：兄弟姐妹、祖父母、外祖父母。
继承开始后，由第一顺序继承人继承，第二顺序继承人不继承；没有第一顺序继承人继承的，由第二顺序继承人继承。