在中国现行法律制度下，私生子通常无法直接承继生父与元配所拥有的财产权益。
根据相关法律规定，遗产的分配权依照以下法定顺位依次进行：
（1）第一顺位：
包括但不限于配偶，子女以及父母；
（2）第二顺位：
包括兄弟姐妹，祖父母以及外祖父母等亲属。
由于私生子的生父与其元配并无血缘关系，因此私生子往往并不具备承继此财产的合法资格。
然而，若私生子与其生父存在合法的扶养关系，则仍具备一定程度上的遗产继承权利。

《民法典》第一千一百二十七条
遗产按照下列顺序继承：
（一）第一顺序：配偶、子女、父母；
（二）第二顺序：兄弟姐妹、祖父母、外祖父母。
继承开始后，由第一顺序继承人继承，第二顺序继承人不继承；没有第一顺序继承人继承的，由第二顺序继承人继承。
本编所称子女，包括婚生子女、非婚生子女、养子女和有扶养关系的继子女。
本编所称父母，包括生父母、养父母和有扶养关系的继父母。
本编所称兄弟姐妹，包括同父母的兄弟姐妹、同父异母或者同母异父的兄弟姐妹、养兄弟姐妹、有扶养关系的继兄弟姐妹。