父亲去世，其继子如果与其形成了扶养关系，则享有继承权，法定第一顺序继承人包括配偶、子女、父母，其中子女包括婚生子女、非婚生子女、养子女和有扶养关系的继子女。被继承人没有签订遗嘱或者遗赠扶养协议等，其遗产就会按照法定继承顺序继承。

《中华人民共和国民法典》第一千一百二十七条
遗产按照下列顺序继承：
第一顺序：配偶、子女、父母；
第二顺序：兄弟姐妹、祖父母、外祖父母。
继承开始后，由第一顺序继承人继承，第二顺序继承人不继承；没有第一顺序继承人继承的，由第二顺序继承人继承。
本编所称子女，包括婚生子女、非婚生子女、养子女和有扶养关系的继子女。
本编所称父母，包括生父母、养父母和有扶养关系的继父母。
本编所称兄弟姐妹，包括同父母的兄弟姐妹、同父异母或者同母异父的兄弟姐妹、养兄弟姐妹、有扶养关系的继兄弟姐妹。