伤残鉴定和伤情鉴定的申请流程详细如下：
①选择鉴定机构：通常情况下，是由公安机关依据相关规定来指定鉴定机构，当然当事人也有权利自行委托那些具备相应资质的鉴定机构。
比如在一些交通事故案件中，公安机关会根据事故的性质和严重程度，为当事人推荐合适的鉴定机构；而当事人自己则可以通过网络搜索、咨询律师或者向相关部门了解，找到符合自己需求的鉴定机构。
②提交申请材料：这一步需要准备的资料较为丰富，首先要有完整的病历，其中详细记录了受伤的经过、治疗的过程以及目前的身体状况等信息；其次是诊断证明，它能够明确受伤的部位、程度以及诊断结果；还有影像学检查资料，像X光片、CT报告等，这些可以直观地反映出受伤部位的具体情况；另外，还需要填写鉴定申请表，申请表中要填写申请人的基本信息、申请鉴定的原因、受伤的时间和地点等相关内容。
③缴纳鉴定费用：按照规定的标准缴纳鉴定费用，一般来说这笔费用是由申请人先行垫付的。
费用的具体数额会根据鉴定的类型、难度以及所需的设备和人力等因素而有所不同。
④鉴定机构受理：鉴定机构会对申请人提交的材料进行严格审核，查看材料是否完整、真实，是否符合鉴定的要求。
如果材料齐全且符合要求，鉴定机构就会予以受理，并开始后续的鉴定工作。
⑤进行鉴定：鉴定机构会安排专业的鉴定人员进行鉴定，这其中包括对受伤者的体格进行全面检查，了解身体各个部位的损伤情况；同时还会进行功能测试，评估受伤部位的功能恢复程度和受限情况等。
⑥出具鉴定报告：经过一系列的鉴定工作后，鉴定机构会根据鉴定结果出具详细的鉴定报告，明确伤残的等级或者伤情的具体情况，为后续的理赔、维权等提供重要的依据。
需要特别注意的是，不同类型的鉴定可能会有一些具体的要求和流程差异，所以在申请鉴定时，一定要根据实际情况认真操作。
并且，在整个申请鉴定的过程中，必须要确保提供的材料真实、完整，这样才能保证鉴定结果的准确性，避免因为材料问题而导致鉴定结果出现偏差。

案情回顾:

小朱在交通事故中受伤，公安机关推荐了鉴定机构，小朱却想自行委托。此外，小朱提交申请材料时，部分病历记录缺失。鉴定机构受理时对材料完整性存疑，最终是否应按小朱意愿委托机构及材料不全能否鉴定成争议点。

案情分析:

1、关于鉴定机构选择，公安机关虽有指定权，但当事人有自行委托资质机构的权利，只要小朱委托的机构具备相应资质，其选择应被认可。
2、对于申请材料缺失问题，材料完整真实是鉴定要求，小朱应补充完整病历等材料，否则可能影响鉴定机构受理及鉴定结果的准确性。