1.当双方已经就垫付的金额以及返还的方式进行了协商并且确定下来之后，那么就可以按照协商所达成的结果，要求对方按时把垫付的钱返还回来。
2.要是没有进行协商或者协商之后没有达成一致意见，这时就可以通过向法院提起诉讼的方式来解决问题。
在诉讼的过程中，必须要提供与垫付相关的各种证据，像通过银行转账的记录，能够清晰显示转账时间、金额等信息，还有医疗方面的票据，上面有关于医疗费用的详细内容等，这些证据可以有力地证明垫付这个事实确实发生过。
3.与此同时，一定要明确对方的责任认定情况。
如果经过相关调查或判断，确定对方承担主要责任或者全部责任，那么对方就有义务承担返还垫付费用的责任。
例如，在交通事故中，对方被认定为全责，那么他就应该把之前垫付的医疗费用等全部返还。
4.诉讼请求可以包含要求对方返还所垫付的全部费用，以及按照一定利率计算的相应利息等。
不过需要特别注意的是，诉讼这个过程往往是比较复杂的，涉及到很多法律程序和细节问题，所以建议当事人及时咨询专业的律师，让律师根据具体情况提供专业的建议和帮助，这样才能更好地保障自身的合法权益。

案情回顾:

小朱为小李垫付了5000元费用，双方起初协商分三个月每月返还1666.67元，但小李第一个月就未按时返还。小朱要求小李按约定还钱遭拒，且双方后续协商无果，小朱欲维权，争议点在于如何让小李返还垫付费用。

案情分析:

1、若双方已就垫付金额及返还方式协商确定，小朱可依约定要求小李按时还钱，小李不履行则构成违约。
2、协商不成时，小朱可诉讼解决。需提供转账记录、医疗票据等垫付相关证据，证明垫付事实。
3、明确责任认定很关键，若小李承担主要或全部责任，就有返还义务。
4、小朱诉讼请求可含返还费用及利息等，因诉讼复杂，应咨询律师保障权益。