1.首先，你应当积极与对方展开沟通与协商。
明确地向对方表达要求其退还之前垫付的医药费用这一意愿，并且要注意在沟通的过程中，将自己的态度表达清晰且坚定。
同时，一定要妥善保留好整个沟通的记录，像是聊天记录这样能够直观反映双方沟通内容的信息，以及通话录音等，这些记录将在后续可能的法律程序中起到关键的证据作用。
2.倘若经过沟通协商后，未能达成一致结果，那么此时你可以考虑通过法律途径来解决问题。
在这之前，你需要精心准备好相关的各类证据，其中医疗费用单据是最为重要的，它能够清晰地显示出你实际垫付的医药费用金额；另外，转账记录也不可或缺，它可以证明你是通过何种方式进行的垫付。
只有准备充分的证据，才能在法律程序中有力地证明你的主张。
3.接下来，你可以向法院提起诉讼，正式要求对方返还你垫付的费用。
在诉讼过程中，你务必明确地阐述自己的诉讼请求，即要求对方归还垫付费用的具体金额等；详细说明事实情况，如垫付的时间、地点、金额等细节；充分阐述理由，说明你垫付医药费用的合理性和合法性。
并且要严格按照法律程序进行，不得有任何违规行为。
4.法院会依据相关的法律规定以及你提供的证据进行认真的审理，最终作出公正的判决。
如果判决结果是对方需要退还费用，然而对方仍然拒不履行判决，那么你可以及时申请法院强制执行。
通过这种合法的方式，能够有效地维护你自身的合法权益。
总之，在处理这类情况时，一定要牢记保留好证据这一要点，并且要及时采取恰当的措施，切不可拖延，以免给自身权益带来更大的损害。

案情回顾:

小朱为小李垫付了医药费用，之后小朱要求小李退还垫付的费用，但小李拒绝。小朱积极与小李沟通协商并保留记录，可协商无果。小朱准备好医疗费用单据、转账记录等证据后向法院起诉，明确诉讼请求、阐述事实和理由。

案情分析:

1、小朱与小李在垫付医药费用退还上存在争议，小朱积极沟通协商并保留证据的做法符合处理争议的常规要求。
2、小朱起诉时准备相关证据、明确诉讼请求等行为有助于法院依据事实和法律进行审理，若判决小李退还而其拒不履行，小朱可申请强制执行维护权益。