在债务人亡故之后，其所背负之债务可向如下指定之人追索:
1.当债务人生命消逝之际，其遗产继承人应以所继承遗产上限为责任范围，代替逝者偿还债务;
2.若并无遗产得以继承，而原债务已设有保证人作为担保的情况下，则保证人应负担起保证义务，以确保债务得到顺利清偿;
3.倘若该笔负债为夫妻共同债务，那么债务人离世后，其伴侣便需承担起承继债务的重任。
4.如前述情况皆不存在的话，债务人所遗留的债务将自然消除，债权人无需再次予以还账。

《民法典》第一千一百五十九条
分割遗产，应当清偿被继承人依法应当缴纳的税款和债务；但是，应当为缺乏劳动能力又没有生活来源的继承人保留必要的遗产。