当碰到培训机构不肯退费的状况时，我们可以向以下这些部门去寻求帮助。
首先，当地的教育行政部门是一个很关键的途径，像教育局这类部门，它们承担着对教育机构的监管与管理职责。
它们有权力和义务去督促培训机构按照规定履行退费的义务。
一旦发现培训机构存在违规不退费的行为，教育行政部门会采取相应的措施，促使其解决问题。
其次，消费者协会也不容忽视。
消费者协会在调解消费纠纷方面有着丰富的经验和专业的能力。
当我们与培训机构产生退费纠纷时，消费者协会可以充当协调者的角色，积极地与双方沟通，了解情况，帮助消费者争取应有的权益，促使双方达成合理的解决方案。
如果遇到涉及金额较大或者存在合同纠纷等较为复杂的情况，那么向人民法院提起诉讼则是更为有力的手段。
通过法律途径，依据相关的法律法规和合同约定，让法院来裁决培训机构是否应该退费以及如何退费。
在这个过程中，我们一定要妥善保留好与培训机构相关的合同、缴费凭证等各种证据。
这些证据就像是我们维护自身权益的武器，有了它们，我们在与培训机构交涉以及向相关部门寻求帮助时，才能更有底气，更有可能成功地解决退费问题。