关于起诉保险公司过程中律师费用承担主体的问题：通常情况下，在提起诉讼时，雇佣律师的一方会先行垫付相关费用。倘若最终在法庭审理过程中取得胜利，且法官判决保险公司需承担部分或全部支出的律师费用，那么这笔费用将转由保险公司支付。
值得注意的是，律师费用实际上是律师为了提供专业的法律服务而向委托方向其收取的相应报酬。
根据中国的相关法律规定，“谁聘请了律师，谁就需要承担相应的律师费用”被视为一项基本原则。
然而，仅有在法律或相关法律解释明确规定，或者在当事人之间达成明确协议的前提下，律师费用才可能由败诉方承担。

《中华人民共和国律师法》第五十九条律师收费办法，由国务院价格主管部门会同国务院司法行政部门制定。
《律师服务收费管理办法》第十条律师服务收费可以根据不同的服务内容，采取计件收费、按标的额比例收费和计时收费等方式。计件收费一般适用于不涉及财产关系的法律事务；按标的额比例收费适用于涉及财产关系的法律事务；计时收费可适用于全部法律事务。