驾驶员与出租汽车公司是构成劳动关系的。
出租车司机要接受公司的教育培训，对外以出租车公司的名义搭载乘客，虽然表面上看，出租车司机具有自主决定劳动时间、地点的权利，但这是由工作内容的特殊性决定的，实际上必然产生的各种费用决定了其不可能选择不提供劳动，其是通过承包出租车公司的车辆经营权而获得谋生的机会，也就是说其收入来源只能依靠公司，因此出租车司机相对于出租车公司在人格上、组织上、经济上有一定的从属性，二者之间符合劳动关系的特征。
法律、法规及政策性规定也要求出租车公司为出租车司机购买社会保险，出租车公司应当和其他用工单位一样承担用工成本，在获得经营利润的同时承担应尽的社会义务。
因此，存在劳动关系。

《劳动和社会保障部关于确立劳动关系有关事项的通知》第一条
用人单位招用劳动者未订立书面劳动合同，但同时具备下列情形的，劳动关系成立：
(一)用人单位和劳动者符合法律、法规规定的主体资格；
(二)用人单位依法制定的各项劳动规章制度适用于劳动者，劳动者受用人单位的劳动管理，从事用人单位安排的有报酬的劳动；
(三)劳动者提供的劳动是用人单位业务的组成部分。