如果离婚后遇到孩子生病，而前夫却不管的情况，可通过以下方式妥善处理：
一、协商沟通
首先，尝试与前夫进行友好协商。
可以选择一个双方都相对方便且平静的时间和地点，面对面地和前夫交流。
明确地告诉他，作为孩子的亲生父亲，对孩子有着不可推卸的抚养和照顾义务。
孩子生病了，需要他承担起相应的医疗费用，这是保障孩子能得到及时治疗的基础。
同时，也希望他能在照顾孩子方面尽到自己的责任，比如抽出时间陪伴孩子看病、照顾孩子的日常生活等。
通过心平气和的沟通，也许能让前夫认识到自己的责任，主动承担起该承担的部分。
二、申请调解
若协商不成，可向当地的居民委员会、村民委员会或者所在单位等有关组织申请调解。
这些组织通常比较了解双方的情况，能够从客观公正的角度出发，出面协调双方解决孩子的医疗及照顾问题。
他们会根据实际情况，对前夫进行劝说和引导，促使他履行自己的义务。
三、提起诉讼
如果调解也无法解决问题，那么就需要向人民法院提起诉讼。
根据法律规定，离婚后，父母对于子女仍有抚养、教育、保护的权利和义务。
法院会综合考虑各种因素，包括双方的经济状况、孩子的实际需求等，依法判决前夫承担孩子生病产生的合理医疗费用，并明确其应尽的抚养责任，以保障孩子的合法权益。

案情回顾:

小朱和小李离婚后，孩子生病，小李却不管。小朱先尝试与小李协商，让其承担医疗费用并照顾孩子，但小李拒绝。之后小朱申请调解，相关组织调解时小李仍不配合。最后小朱无奈提起诉讼。争议点在于小李对生病孩子不尽抚养责任。

案情分析:

1、小朱与小李协商时，小李拒绝承担责任，这违背了作为亲生父亲对孩子的抚养和照顾义务，法律明确规定离婚后父母对子女仍有抚养等义务。
2、调解不成说明小李缺乏主动承担责任的意愿，小朱提起诉讼是合理合法的维权途径，法院会依据相关法律及实际情况，判决小李承担医疗费用及明确其抚养责任。