当孩子爸爸不抚养孩子并且不支付相关费用时，可通过以下途径来妥善解决：
一、协商解决
首先，可以尝试与孩子爸爸进行深入的沟通协商。
在沟通时，要明确指出他作为父亲所应承担的抚养义务。
详细说明孩子在生活、教育、医疗等各方面的实际需求，进而确定他应支付的抚养费具体金额以及合适的支付方式，比如是按月支付还是按季度支付等。
为避免后续出现纠纷，双方应当达成书面协议，将各项内容清晰明确地记录下来。
二、申请调解
若直接协商无法取得理想效果，可向当地的人民调解委员会等专业机构申请调解。
这些机构有专业的调解人员，他们会秉持公正、客观的原则，从法律和情理的角度出发，对双方进行协调。
在调解过程中，调解人员会充分听取双方的意见和诉求，促使孩子爸爸认识到自己的责任，从而履行抚养义务。
三、诉讼途径
协商和调解都没有达到预期的结果，那么可以以孩子的名义向法院提起诉讼。
在诉讼过程中，法院会全面考虑孩子的实际生活需要，包括日常开销、教育费用、医疗费用等，同时结合父母双方的经济负担能力以及当地的实际生活水平等多方面因素，来合理确定抚养费的具体数额。
四、强制执行
若法院作出判决后，孩子爸爸仍然拒不支付抚养费，可向法院申请强制执行。
法院有权依法采取一系列措施，例如冻结对方的银行账户、划拨其名下的财产等，以此来切实保障抚养费的顺利支付。

案情回顾:

小朱与小李离婚后，小李作为孩子爸爸，不抚养孩子且不支付相关费用。小朱先尝试与小李协商，要求其承担抚养义务并确定抚养费金额及支付方式，但未达成书面协议。申请调解也无果，小朱便以孩子名义起诉，法院判决后，小李仍拒不支付抚养费。

案情分析:

1、协商阶段，未达成书面协议存在隐患，一旦一方反悔，之前的协商成果难以保障，易引发后续纠纷。
2、调解未能成功，说明双方矛盾较深或小李对自身义务认识不足，导致专业调解人员也难以促成和解。
3、诉讼是维护权益的有力途径，法院会综合多因素确定抚养费数额，保障孩子合法权益。
4、强制执行能有效制约拒不履行判决者，通过强制手段确保抚养费支付。