关于争抚养权上诉次数的相关问题，下面为您进行详细分析：
一、一审上诉的具体情况
在抚养权纠纷案件中，一审判决结果出来后，如果当事人觉得该判决不符合实际情况或者不符合法律规定，那么在判决书送达之日起15日内，当事人有权向上一级人民法院提起上诉。
这是法律赋予当事人的重要权利，且这种上诉权利在一审阶段只能行使一次。
当上诉案件被上一级法院受理后，法院会对整个案件进行全面、细致的审理。
在审理过程中，法院会认真审查双方提交的证据、听取双方的陈述和辩论等。
之后，根据审理结果依法作出裁决，这个裁决可能维持原判，也可能对一审判决进行改判。
二、二审后申诉的相关要点
如果二审法院作出了终审判决，而当事人依然认为该判决存在错误，此时当事人可以申请再审。
不过需要明确的是，申请再审和上诉有着本质的区别。
再审申请需要满足法定的情形，例如有新的证据足以推翻原判决，或者原判决在适用法律上存在明显错误等。
法院在收到再审申请后，会对申请进行严格审查，判断是否符合再审的条件。
只有在符合条件的情况下，才会启动再审程序。
由于再审程序启动的标准较为严格，所以不是所有的再审申请都会被受理。
综上所述，严格意义上争抚养权按上诉程序只有一次。

案情回顾:

小朱和小李因抚养权纠纷诉至法院，一审判决抚养权归小李。小朱认为判决不符实际和法律规定，在规定时间内上诉。二审法院审理后维持原判，小朱仍不服，认为判决错误，申请再审，争议点在于再审申请能否被受理。

案情分析:

1、小朱在一审判决后有权在判决书送达之日起15日内上诉，这是法律赋予的权利，且一审阶段上诉权只能行使一次，上一级法院会全面细致审理并依法裁决。
2、二审终审后小朱申请再审，需满足法定情形，如要有新证据足以推翻原判决等，法院会严格审查再审申请，符合条件才会启动再审程序，本案中小朱再审申请能否受理存不确定性。