关于能否向“老赖”申请抚养费的问题，下面为你详细分析：
一、法律依据明确
父母对未成年子女的抚养教育义务，是基于亲子关系而产生的法定责任，这一义务具有不可免除性。
即便一方被认定为“老赖”，也就是在信用等方面存在不良记录，但其作为父母，对未成年子女的抚养责任依然要履行。
这是法律对未成年人权益的重要保障，确保他们在成长过程中能得到基本的生活和教育支持。
二、申请途径清晰
一般而言，直接抚养子女的一方可以代表子女，向法院提起民事诉讼来申请抚养费。
在诉讼中，需明确要求老赖一方按照法律规定或者双方之前的约定，按时、足额支付抚养费。
法院在确定抚养费数额时，会综合多方面因素。
三、执行有保障
要是老赖一方不按照生效判决支付抚养费，另一方可以向法院申请强制执行。
法院有权采取多种措施，比如查询、冻结、划拨老赖的存款，查封、扣押、拍卖其财产等，切实保障未成年子女的合法权益。

案情回顾:

小朱与小李离婚后，小李被认定为“老赖”。小朱作为直接抚养孩子的一方，向小李索要孩子抚养费遭拒，争议点在于能否向“老赖”申请抚养费，小朱遂向法院提起诉讼，法院判决后，小李仍不支付。

案情分析:

1、依据法律，父母对未成年子女抚养教育义务不可免除，即便小李是“老赖”，对孩子的抚养责任依然要履行，这是保障未成年人权益的体现。
2、小朱代表子女向法院提起民事诉讼申请抚养费是合理途径，法院会综合子女实际需求、父母负担能力及当地生活水平确定抚养费数额。
3、小李不按判决支付，小朱可申请强制执行，法院有权采取多种措施保障未成年子女合法权益。