再婚配偶的监护权问题，在不同情形下有不同的规定，下面进行详细分析：
一、成年且精神正常的情况
当再婚配偶双方均为完全民事行为能力人时，即达到法定成年年龄，且精神、智力状态良好，不存在因疾病、精神障碍等因素导致需要他人监护的情况。
在这种状态下，双方在法律上是相互独立的个体，各自能够独立进行民事活动，对自己的行为负责。
例如，在日常生活中，双方可以独立地进行工作、社交、经济交易等各种活动，不存在一方需要对另一方进行监护的必要，所以也就不存在监护权的问题。
二、丧失或部分丧失民事行为能力的情况
当其中一方由于突发重大疾病，如脑部疾病导致认知障碍，或者遭遇严重意外事故造成大脑损伤、智力受损等原因，从而丧失或者部分丧失民事行为能力时，其对自身行为的辨认和控制能力会受到影响。
此时，如果没有其他具有法定监护资格的人，或者其他监护资格人因各种原因，如自身年老体弱、缺乏监护能力等，无法履行监护职责，那么作为配偶的另一方，依据相关法律规定，通常会成为其监护人，享有监护权。
监护人可以依法对被监护人的人身安全进行保护，比如照顾其日常生活起居、保障其居住环境安全等；同时，对被监护人的财产进行合理管理和保护，确保财产用于被监护人的生活、医疗等必要支出，维护被监护人的其他合法权益。

案情回顾:

小朱和小李再婚，起初二人成年且精神正常。后小李突发脑部疾病致认知障碍，丧失部分民事行为能力。小李的父母年老体弱无法监护，此时小朱与小李的子女就小朱是否有监护权产生争议。

案情分析:

1、在二人成年且精神正常时，双方为完全民事行为能力人，能独立进行民事活动，各自对自己行为负责，不存在一方监护另一方的必要，也就无监护权问题。
2、小李丧失部分民事行为能力，且其他法定监护资格人无法履行监护职责时，依据法律规定，小朱作为配偶，通常会成为小李的监护人，享有监护权，可对小李的人身和财产进行合理保护和管理。