抚养权变更手续的办理时间会因变更方式的不同而存在差异，下面为你详细介绍：
1.协议变更：
当双方就抚养权变更事宜能够协商一致时，便可签订抚养权变更协议。
这一方式相对来说较为快捷简便。
通常情况下，只要双方就协议内容达成一致意见，并且都签字确认，那么这份协议便开始生效。
不过，为了尽可能地避免后续可能出现的各类纠纷，保障协议的法律效力，双方可以选择前往公证处对该协议进行公证。
一般而言，公证的时间大概在几个工作日内就能够完成。
具体而言，公证处会对协议的内容、双方的身份信息等进行审核，确认无误后便会出具公证书。
2.诉讼变更：
如果双方无法通过协商达成一致意见，那么就需要通过诉讼的途径来变更抚养权。
通常，从立案到审结会有不同的时间规定。
对于适用简易程序的案件，应当在立案之日起三个月内审结。
在这期间，法院会进行相关的调查、审理等工作。
而适用普通程序审理的案件，则应当在立案之日起六个月内审结。
要是遇到特殊情况，审结之后，当事人可凭借生效的法律文书去办理相关的变更手续。

案情回顾:

小朱和小李离婚后，起初孩子抚养权归小朱。后小李想变更抚养权，双方先尝试协商，在协议内容上出现争议，小朱担心后续纠纷要求公证。协商不成后，小李又起诉变更抚养权，案件审理中也存在事实认定争议。

案情分析:

1、对于协议变更，双方若能协商一致并签字确认，协议生效。若选择公证，公证处会审核协议内容与双方身份信息等，几个工作日可完成公证，能增强协议法律效力，避免后续纠纷。
2、对于诉讼变更，适用简易程序应在立案起三个月内审结，普通程序在六个月内审结，特殊情况可延长。审结后凭生效法律文书办变更手续。