可参考以下方法来解决：
一、协商变更
当双方能够就抚养权的变更事宜达成一致意见时，这是一种较为理想且便捷的处理方式。
具体来说，双方可以签订一份书面协议。
在这份协议中，需要详细且明确地规定变更后的抚养安排，例如孩子的居住地点、探视时间和方式、教育和医疗费用的承担等具体内容。
通过这种方式变更抚养权，无需经历复杂的诉讼程序，能够节省双方的时间和精力，同时也能最大程度地减少对孩子生活的影响。
二、收集新证据后诉讼变更
如果双方无法协商一致，而目前又没有直接证据支持抚养权的变更，那么可以尝试收集新的证据。
例如，若发现对方存在虐待、遗弃子女的行为，可以寻找相关的证人证言，如邻居、亲戚、朋友等能够证明此类行为发生的相关陈述。
同时，还可以收集自身抚养条件明显改善且更有利于子女成长的证明材料，像稳定的收入证明，包括工资单、银行流水等，以及良好居住环境的证明，如房产证、房屋租赁合同等。
在收集到一定的证据之后，就可以向法院提起变更抚养权的诉讼。
法院在审理此类案件时，会全面综合地考虑双方的具体情况，始终从有利于子女身心健康、切实保障子女合法权益的角度出发，来判定是否变更抚养权。

案情回顾:

小朱和小李离婚后，孩子归小李抚养。后小朱想变更抚养权但无证据。小朱先尝试与小李协商，小李起初不同意，双方产生争议。小朱随后着手收集新证据，如小李虐待孩子的证人证言及自身抚养条件改善的证明材料，之后向法院提起诉讼。

案情分析:

1、协商阶段，双方未能达成一致，说明在抚养权变更问题上存在较大分歧，各自可能出于自身利益或对孩子抚养的不同观念而僵持。
2、小朱收集证据后诉讼，法院会综合考量。若小朱提供的证据能充分证明小李不适合抚养且自己条件更优，从利于孩子身心健康角度，法院可能支持变更抚养权；反之，则可能驳回。