父母放弃抚养权可能带来多方面的后果，具体如下：
一、法律责任方面
抚养未成年子女是父母基于法律规定必须履行的义务，具有强制性，一般不能随意放弃。
在正常情况下，若父母一方提出放弃抚养权，法院通常是不会予以支持的。
只有在出现法定的特殊情形时，比如一方患有严重且难以治愈的疾病，致使其身体状况极差，根本没有能力继续抚养子女；或者一方因遭受严重伤残，丧失了劳动能力以及生活自理能力，从而无法为子女提供必要的生活和成长条件等，法院才会根据实际情况进行考量。
若父母无故放弃抚养权，这种行为很可能会被认定为不履行抚养义务，需要承担相应的法律责任。
二、监护权受限方面
抚养权与监护权紧密相连。
一旦父母放弃抚养权，其对子女的监护权行使必然会受到影响。
例如，在涉及子女的重大事项决策上，像子女的教育规划、医疗方案选择等方面，放弃抚养权一方的权利将会受到限制。
三、道德层面
从社会伦理和道德的角度出发，父母放弃抚养权的行为可能会引发社会舆论的谴责。
毕竟，抚养子女是为人父母的基本责任和义务。
四、经济责任方面
即便父母放弃了抚养权，不直接抚养子女的一方依旧需要承担支付抚养费的责任。
这是为了确保子女在生活、教育等方面的基本需求能够得到满足。

案情回顾:

小朱和小丽是一对夫妻，育有一子。小朱因工作繁忙，想放弃抚养权，引发争议。小丽认为小朱应尽抚养义务，不能随意放弃，双方协商无果，诉至法院。法院最终驳回小朱放弃抚养权请求，小朱仍需支付抚养费。

案情分析:

1、从法律责任看，抚养未成年子女是法定义务，小朱无特殊法定情形放弃抚养权，法院不会支持，无故放弃会被认定不履行抚养义务，需担责。
2、监护权方面，放弃抚养权会使监护权行使受限，小朱在子女重大事项决策上权利会受影响。
3、道德层面，小朱放弃行为可能引发社会舆论谴责。
4、经济责任上，即便放弃抚养权，小朱也要支付抚养费保障子女基本需求。