抚养权的变更主要有以下两种方式，且需要通过对应的部门来办理，具体情况如下：
一、协议变更
当父母双方能够就孩子抚养权的变更事宜达成一致意见时，便可以选择协议变更的方式。
在这种情况下，双方需要签订一份抚养权变更协议。
这份协议需要明确双方在抚养权变更后的各项权利和义务，例如孩子的居住安排、探视方式、抚养费的支付等内容。
只要协议的内容符合我国相关法律的规定，并且是双方真实意愿的体现，双方自愿签署了该协议，那么这份变更协议就具备法律效力。
不过，为了防止后续可能出现的纠纷，对协议进行公证是一个比较稳妥的做法。
若要进行公证，双方可以前往当地的公证处办理相关手续，公证人员会对协议的内容进行审核，确保其合法有效。
二、诉讼变更
如果父母双方无法就抚养权变更协商一致，而其中一方又强烈要求变更抚养权，那么这一方可以向有管辖权的人民法院提起变更抚养权的诉讼。
管辖法院为被告住所地或者被告经常居住地的人民法院。
在诉讼过程中，法院会全面、细致地考虑各种因素。
法院会从有利于子女身心健康、保障子女合法权益的角度出发，综合考量双方的抚养能力，比如双方的经济收入、工作稳定性等，以及抚养条件，例如居住环境、教育资源等，最终根据具体情况作出是否变更抚养权的判决。

案情回顾:

小朱和小李离婚后，孩子抚养权归小朱。后因工作变动，小朱无法很好照顾孩子，想变更抚养权给小李，但小李对抚养费支付等问题有异议，双方无法协商一致，小朱遂向法院起诉要求变更抚养权。

案情分析:

1、协议变更方面，本案中双方未达成一致意见，无法通过协议变更。若能协商，需签订明确权利义务的协议，公证可防纠纷。
2、诉讼变更方面，小朱起诉后，法院会综合考虑。小朱因工作变动抚养能力或受影响，法院会考量小李的抚养能力和条件，从利于孩子身心健康、保障权益角度作出判决。