离婚后向对方索要抚养费是有法律依据的。
在婚姻关系解除后，其中一方负责抚养子女，那么另一方就应当承担起必要的生活费和教育费，这部分费用可以是全部，也可以是一部分，具体的数额以及期限由双方协商决定；如果双方无法达成一致协议，就由人民法院进行判决。
倘若对方没有按照事先商定的协议或者法院的判决来履行支付抚养费的责任，那么抚养子女的这一方就有权利在离婚之后的任何时间里，向法院提起诉讼，要求对方支付应有的抚养费。
在提起诉讼的时候，需要提供一些相关的证据，像是离婚协议，它能够明确双方对于子女抚养以及相关费用的约定；还有判决书，它是法院对抚养问题作出的具有法律效力的判定。
法院会依据具体的情况来作出判决，让对方支付相应的抚养费，并且在必要的情况下，还会采取强制执行的措施，以确保抚养费的按时支付，保障子女的合法权益。

案情回顾:

小朱与小李离婚后，约定小李抚养子女，小朱支付部分抚养费。但之后小朱未按约定支付，小李索要无果后向法院起诉，要求小朱支付抚养费，小朱辩称自己经济困难无力支付，双方产生争议。

案情分析:

1、根据法律，离婚后不直接抚养子女的一方有支付抚养费的义务，小朱未按约定支付已构成违约。
2、小李有权提起诉讼索要抚养费，且应提供离婚协议等相关证据。法院会依据具体情况判决，若小朱仍不支付，必要时法院可采取强制执行措施保障子女权益。