当出现一方不支付抚养费的情况时，可参照以下方式妥善处理：
1.协商解决：
在遇到这种问题时，首先应尝试通过协商的方式来解决。
抚养孩子的一方可以找一个合适的时机，与未支付抚养费的一方心平气和地沟通。
明确指出按照之前的约定或者法院的判决，对方有支付抚养费的义务，强调抚养费对于孩子成长的重要性。
通过摆事实、讲道理，尝试让对方认识到自己的责任，从而主动履行支付义务。
2.申请强制执行：
若经过多次沟通协商，对方仍然拒绝支付抚养费，那么抚养孩子的一方可以向法院申请强制执行。
法院在接到申请后，会依法采取多种有力的强制执行措施。
例如，查询对方在各个银行的存款信息，必要时冻结其账户并直接划拨相应金额的存款；扣留、提取对方的工资、奖金等收入；对于对方名下的房产、车辆等财产，还可以进行查封、扣押，甚至通过拍卖、变卖等方式变现，以获取抚养费。
3.司法拘留：
如果对方明明有能力支付抚养费，却故意拒不支付，且这种行为情节较为严重，那么法院可能会对其处以司法拘留。
这是一种较为严厉的制裁措施，旨在督促对方履行义务。
4.刑事责任：
若对方有能力执行法院的判决却拒不执行，且情节特别严重，其行为有可能会被认定为拒不执行判决、裁定罪。
一旦罪名成立，就需要承担相应的刑事责任。

案情回顾:

小朱和小李离婚后，小李依约应定期支付孩子抚养费，但一段时间后小李停止支付。小朱多次与小李协商，小李仍拒绝支付，小朱申请法院强制执行，小李仍不配合，且其有支付能力却故意拖欠，引发法律责任争议。

案情分析:

1、小朱与小李起初应通过协商解决，小朱应向小李说明抚养费对孩子成长意义，让其认识到支付义务，但小李未履行。
2、小朱申请强制执行合理，法院可依法冻结小李账户、扣留工资等，强制其支付抚养费。
3、小李有能力支付却故意拖欠，法院可对其司法拘留，促使其履行义务。
4、若小李拒不执行判决情节特别严重，可能构成拒不执行判决、裁定罪，需承担刑事责任。