关于起诉抚养费的律师费用承担问题，具体情况如下：
一、一般原则
在通常情况下，律师费由聘请律师的一方自行承担。
律师费本质上是当事人为获取专业的法律帮助而支付的费用。
在诉讼过程中，并非必然会产生律师费，它不像案件受理费等是与案件直接相关的必要支出。
例如，当事人完全可以自行准备材料、参与诉讼流程，而不聘请律师。
所以，从这个角度看，自行承担律师费是比较常见的做法。
二、特殊约定
如果双方在相关协议，比如离婚协议中，对抚养费纠纷等特定情况下律师费的承担方作出了明确约定，那就应当按照约定来执行。
这种约定体现了双方的自主意愿和协商结果，只要约定不违反法律法规的强制性规定，就是有效的。
比如双方约定，若一方不按时支付抚养费引发诉讼，违约方需承担另一方的律师费。
三、法院酌情判定
在某些特殊案件中，法院可能会酌情判定律师费的承担。
比如，一方存在故意拖欠抚养费等明显过错行为，给另一方带来了经济上的压力。
另一方为了维护自身合法权益聘请律师，支付了高额费用，且因此导致自身经济困难。
在这种情况下，法院会综合考虑各种因素，如过错方的过错程度、另一方的经济状况等，判定由过错方适当承担部分律师费，但这种情况相对较少。

案情回顾:

小朱与小李离婚后，小李未按时支付孩子抚养费，小朱起诉小李索要抚养费并聘请律师，产生律师费。争议点在于这笔律师费该由谁承担，小朱主张小李承担，小李则认为应各自承担。

案情分析:

1、一般情况下，律师费由聘请方自行承担，因为律师费非诉讼必要支出，当事人可自行参与诉讼，所以按常规小朱应自行承担律师费。
2、若双方在离婚协议中有明确约定，比如约定不按时支付抚养费引发诉讼，违约方承担另一方律师费，那么应按约定执行。
3、若小李存在故意拖欠抚养费等明显过错，导致小朱经济困难，法院可能会酌情判定小李适当承担部分律师费，但这种情况相对较少。