起诉变更抚养权给对方，可按以下详细步骤进行：
一、确定管辖法院
一般来说，需要向被告住所地或经常居住地的基层人民法院提起诉讼。
这里的被告住所地指的是被告的户籍所在地，如果被告离开户籍所在地超过一年，且在其他地方连续居住满一年以上，那么这个经常居住地的基层人民法院就有管辖权。
例如，被告在某城市工作并租房居住满一年，就向该城市对应的基层法院起诉。
二、准备证据材料
1.证明对方抚养条件更有利于孩子成长的证据。
比如，对方经济状况有明显改善，有稳定且较高的收入，能为孩子提供更好的生活和教育条件；居住环境稳定，有自己的房产，周边配套设施完善，利于孩子生活和学习。
2.证明己方不适合继续抚养孩子的相关证据。
例如，因工作变动，经常需要出差，无法长时间陪伴和照顾孩子；或者身患严重疾病，难以正常履行抚养孩子的职责。
三、撰写起诉状
要清晰写明原被告的基本信息，包括姓名、性别、年龄、住址、联系方式等。
诉讼请求要明确，即要求变更抚养权。
事实与理由部分要详细阐述变更抚养权的原因和依据，如上述提到的相关情况。
四、立案与审理
将准备好的起诉状及证据材料递交法院立案。
法院受理后会安排开庭审理，双方需按时到庭，陈述自己的观点，并进行举证质证。
五、等待判决
法院会综合双方提交的证据以及实际情况，按照最有利于未成年子女的原则作出公正的判决。

案情回顾:

小朱和小李离婚后，孩子由小朱抚养。后小李经济状况改善且有稳定房产，想变更抚养权，便向小朱住所地基层法院起诉，小朱则称自己能照顾好孩子。双方就抚养权变更产生争议，后进入立案审理阶段。

案情分析:

1、关于管辖法院，若小朱户籍所在地与经常居住地不一致，且离开户籍所在地超一年，在某地居住满一年，那么该地基层法院才有管辖权，否则小李起诉的法院可能有误。
2、证据方面，小李需充分证明自身抚养条件更优，小朱需证明自身并非不适合抚养孩子，法院会综合考量。
3、法院会基于双方证据及实际情况，按最有利于孩子原则判决。