当遇到抚养费被执行人不肯支付的情况时，可通过以下途径来妥善解决：
1.协商沟通：
首先，尝试与被执行人重新进行协商。
在协商过程中，要清晰、明确地向其阐述支付抚养费是其应尽的法律义务。
可以详细说明抚养费对于孩子成长的重要性，比如孩子的生活、教育、医疗等各方面都需要这笔费用的支持。
通过耐心沟通，争取让对方认识到自己的责任，从而友好地解决问题。
2.申请强制执行：
若协商没有取得理想的结果，那么权利人可以向法院申请强制执行。
法院拥有多种执行措施。
例如，法院会查询被执行人的银行存款情况，一旦发现有足够的资金，便可以冻结相关账户，并按照规定进行划拨；对于被执行人的收入，法院有权进行扣留和提取；另外，还可以对其名下的房产、车辆等财产进行查封、扣押，必要时通过拍卖、变卖等方式获取资金用于支付抚养费。
3.司法拘留：
如果被执行人明明有能力执行支付抚养费的判决，却故意拒不执行，而且情节比较严重，法院就可以对其采取司法拘留措施，拘留时间最长可达15日。
4.追究刑事责任：
若被执行人拒不支付抚养费，情节恶劣，可能构成拒不执行判决、裁定罪，届时将被依法追究刑事责任。
总之，法律会充分保障权利人的合法权益，通过合法的途径能够促使被执行人履行支付抚养费的义务。

案情回顾:

小朱与小李离婚后，小李拒绝支付孩子抚养费。小朱先尝试与小李协商，强调抚养费对孩子成长的重要性，但小李仍不肯支付。小朱申请法院强制执行，法院采取多种措施后，小李仍拒不执行，争议点在于小李有能力支付却故意拖欠抚养费。

案情分析:

1、小朱与小李协商时，小李拒绝支付，未履行其应尽的法律义务，这种行为损害了孩子获得抚养费的权益。
2、法院强制执行阶段，小李对各种执行措施仍不配合，法院有权对其采取司法拘留措施，因其行为已符合相关条件。
3、若小李持续拒不支付，情节恶劣，构成拒不执行判决、裁定罪，将被追究刑事责任，法律会保障小朱和孩子的合法权益。