生父不给抚养费这一行为，一般情况下是不会构成遗弃罪的。
遗弃罪有着明确的界定，它主要是针对那些年老、年幼、患病或者其他缺乏独立生活能力的人，倘若负有扶养义务却故意拒绝扶养，并且情节恶劣，才会被认定为遗弃罪。
仅从不给抚养费这一点来看，通常只是在民事范畴内构成了违约行为。
这时，子女及其监护人可以通过民事诉讼的方式，要求生父履行支付抚养费的义务。
然而，如果生父明明有能力支付抚养费，却恶意地拒绝支付，并且这种拒绝支付的行为达到了情节恶劣的程度，比如长期持续不支付，使得子女的生活陷入到了极为严重的困境之中，像无法正常上学、生活物资极度匮乏等情况，那么这种行为就可能涉嫌遗弃罪了。
此时，就可以向公安机关报案，让司法机关依据相关法律规定，对生父的行为进行依法追究，追究其应承担的刑事责任。
总之，是否构成遗弃罪，必须根据具体的实际情况来进行准确的判断。
案情回顾:
小朱的生父拒绝支付抚养费，仅从这一行为看，在民事范畴构成违约。若生父有能力支付却恶意拒绝，且达到情节恶劣，如致小朱长期无法正常上学、生活物资匮乏等，此时是否构成遗弃罪存疑。
案情分析:
1、生父不给抚养费一般不构成遗弃罪，因其需针对年老、年幼等缺乏独立生活能力者，且故意拒绝扶养情节恶劣才构成。
2、仅从不给抚养费到可能涉嫌遗弃罪，需根据具体实际情况判断，如小朱生活困境状况等，可通过民事诉讼或报案让司法机关依法追究。