当债务人不幸死亡后，对于其欠下的1000元欠款，可参照以下方法进行妥善处理：
一、确定遗产范围
要明确死者是否留下遗产，这是处理欠款问题的首要步骤。
遗产的范畴较为广泛，涵盖了多个方面。
比如，个人名下的房产，这可能是其生前购置用于居住或投资的；车辆，包括私家车、商务车等；银行里的存款，无论是活期还是定期储蓄；还有对外享有的债权等各类财产。
这些都需要进行仔细梳理和清查，以便准确确定遗产的具体范围。
二、以遗产清偿
如果经确认存在遗产，那么就应当用遗产来偿还债务。
继承人需要在继承遗产的范围内承担清偿责任。
举例来说，若遗产的总价值为5000元，而欠款为1000元，那么这1000元就应当从遗产中拿出用于偿还欠款。
但要是遗产仅有500元，那就先以这500元偿还，剩余的500元欠款，除非继承人出于自愿主动偿还，否则债权人往往很难再将其追回。
三、放弃继承的情况
若继承人明确表明放弃继承遗产，那么通常情况下，其对被继承人的债务是不承担偿还责任的。
在这种情形下，债权人只能在遗产的实际范围内去实现自己的债权，也就是说，能从遗产中获得多少偿还就获得多少。

案情回顾:

小朱向小李借款1000元后不幸死亡。争议点在于小朱的遗产范围如何确定以及欠款能否得到清偿。小朱留有房产、车辆、存款等可能构成遗产的财产，其继承人小静对遗产继承态度不明，这影响着小李欠款能否追回。

案情分析:

1、确定遗产范围方面，需仔细清查小朱名下房产、车辆、存款及对外债权等财产，明确遗产具体范围，这是处理欠款问题的基础。
2、若存在遗产，继承人小静若继承遗产，应在继承范围内承担清偿责任，如遗产足够则偿还1000元，不足则按实际遗产价值偿还。
3、若小静放弃继承，其对小朱债务不承担偿还责任，小李只能在遗产实际范围内实现债权。