关于自书遗嘱不被认可时的举证责任问题，具体分析如下：
一、主张遗嘱无效方的举证责任
在自书遗嘱的效力争议中，主张遗嘱无效的一方通常要承担初步的举证责任。
这一责任的履行需有具体的证据支撑。
笔迹鉴定结论是常见的证据形式之一，如果鉴定显示遗嘱上的签名并非立遗嘱人本人所签，那么这就为质疑遗嘱的真实性提供了重要依据。
另外，若质疑立遗嘱人当时的行为能力，主张无效方需要搜集相关医疗诊断记录。
比如，立遗嘱人在立遗嘱期间曾被医院诊断患有严重的精神疾病，导致其无法正确认知和表达自己的意愿，同时，证人证言也可以作为辅助证据，证明立遗嘱人当时的精神状态不佳，不具备完全民事行为能力。
二、遗嘱持有方的反证责任
当主张无效方提供了一定的证据后，遗嘱持有方若想维持遗嘱的有效性，就需要针对质疑进行反驳，并提供相应证据。
遗嘱持有方要证明遗嘱是立遗嘱人的真实意思表示，比如提供立遗嘱过程的录像、见证人的证言等，表明立遗嘱人在立遗嘱时思维清晰，是在自愿、无外界干扰的情况下立下遗嘱的。
同时，还需证明立遗嘱人当时具备完全民事行为能力，如提供立遗嘱人近期的体检报告等。
最后，法院会全面综合双方提供的证据，进行审慎判断，从而确定自书遗嘱是否有效。

案情回顾:

小朱去世后，其自书遗嘱引发争议。小李主张遗嘱无效，怀疑签名伪造且认为小朱立遗嘱时无行为能力；小胡作为遗嘱持有方则认为遗嘱有效，双方就自书遗嘱的效力产生激烈争执，诉至法院。

案情分析:

1、小李作为主张遗嘱无效方，需承担初步举证责任。若对签名存疑，可申请笔迹鉴定；若质疑行为能力，要搜集医疗诊断记录、证人证言等相关证据。
2、小胡作为遗嘱持有方，要针对小李的质疑进行反驳。可提供立遗嘱过程录像、见证人的证言证明遗嘱是真实意思表示，还需提供体检报告等证明小朱当时具备完全民事行为能力。
3、法院会综合双方证据，审慎判断自书遗嘱是否有效。