子女死亡后，其遗产的归属确定是有明确规则的，具体情况如下：
1.有遗嘱时的遗产分配：
若子女生前立有合法有效的遗嘱，那么遗产分配将遵循遗嘱内容。
遗嘱是子女对自己财产在去世后如何处置的预先安排。
遗嘱中指定的继承人范围较为广泛，既可以是法定继承人中的一人或者数人，比如配偶、子女、父母中的特定人员等；也可以是法定继承人以外的个人或组织，例如关系密切的朋友、长期资助的公益组织等。
在这种情况下，遗产将按照遗嘱的具体指示进行精准分配。
2.无遗嘱时的法定继承：
子女没有立下遗嘱，那就按照法定继承的方式来办理。
法定继承有着明确的顺序规定。
第一顺序继承人包括配偶、子女、父母。
这里的配偶是指与死者存在合法婚姻关系的伴侣；子女包括婚生子女、非婚生子女、养子女和有扶养关系的继子女；父母则包括生父母、养父母和有扶养关系的继父母。
第二顺序继承人包括姐妹、祖父母、外祖父母。
继承开始后，首先由第一顺序继承人继承遗产，第二顺序继承人此时不参与继承；只有在没有第一顺序继承人继承的情况下，才由第二顺序继承人继承。
3.特殊情况的优先处理：
此外，还需留意是否存在遗赠扶养协议等特殊情况。
若有，优先按照遗赠扶养协议处理遗产，因为这体现了死者与特定主体之间的特殊约定。

案情回顾:

小朱去世后，其遗产归属成争议焦点。小朱生前未明确表明是否有遗嘱，其配偶小李认为应按法定继承由自己继承，而小朱资助多年的公益组织称小朱曾口头表示会留遗产给他们，且主张应优先按此分配，双方产生纠纷。

案情分析:

1、若小朱生前立有合法有效遗嘱，且指定公益组织为继承人，那么遗产应按遗嘱内容分配给该组织，因遗嘱体现其对财产处置的预先安排。
2、若小朱无遗嘱，则应按法定继承办理，小李作为配偶属于第一顺序继承人，此时若无其他第一顺序继承人，遗产应由小李继承。
3、若存在遗赠扶养协议等特殊情况，则优先按协议处理遗产。