关于被继承人放弃继承权后债务承担问题，具体情况如下：
一、继承人放弃继承的法律后果
依据我国相关法律，继承人若要放弃继承，需在遗产处理之前，以书面形式清晰、明确地作出放弃继承的表示。
这一书面表示是具有法律效力的重要依据。
一旦继承人作出了有效的放弃表示，就意味着其对被继承人所遗留的遗产，不再拥有任何权利。
相应地，从法律层面来讲，通常情况下，该继承人也无需对被继承人在生前遗留的债务承担清偿责任。
例如，甲放弃对父亲遗产的继承，并按规定作出书面表示，此后便对父亲的遗产无权益，一般也不用偿还父亲的债务。
二、债务承担主体
当继承人放弃继承时，被继承人的债务清偿是以其遗产的实际价值为限度的。
也就是说，首先会用被继承人遗留下来的财产去偿还其生前的债务。
比如，被继承人留下价值10万元的遗产，而债务为15万元，那么就先用这10万元偿还债务。
若遗产不足以清偿全部债务，对于剩下的5万元债务，放弃继承的继承人无需动用自己的财产去偿还。
三、特殊情况
在某些特殊情况下，若继承人放弃继承是出于恶意逃避债务等法定无效情形，那么这种放弃行为可能会被法律认定为无效。
在这种情况下，继承人仍然需要承担相应的债务。
比如，继承人明知被继承人有大量债务，为逃避偿还责任而虚假放弃继承，这种行为是不被法律认可的。

案情回顾:

小朱的父亲去世后留下部分遗产和债务。小朱书面表示放弃继承，随后遗产用于偿还债务但未还清。债权人要求小朱继续偿还剩余债务，小朱拒绝，双方就小朱放弃继承后是否还需担债产生争议。

案情分析:

1、小朱在遗产处理前书面放弃继承，按法律规定，其对遗产不再有权利，通常无需对父亲生前债务承担清偿责任。
2、被继承人债务应以遗产实际价值为限清偿，遗产不足清偿部分，放弃继承的小朱无需用自己财产偿还。
3、若小朱放弃继承是出于恶意逃避债务等法定无效情形，如明知父亲有债为逃债虚假放弃，其放弃行为无效，仍需担债。