当唯一继承人放弃继承权后，具体的处理情况如下：
一、遗产的归属问题
依据《中华人民共和国民法典》的相关规定，当唯一继承人放弃继承时，需要看被继承人是否有遗嘱或遗赠协议来安排遗产。
如果被继承人没有通过遗嘱或遗赠协议对遗产作出安排，且唯一继承人放弃继承，那么遗产的归属会有不同情况。
若被继承人生前并非集体所有制组织成员，遗产将归国家所有。
例如，城市居民的遗产在这种情况下会收归国家。
若被继承人生前是集体所有制组织成员，其遗产则归所在集体所有制组织所有，
二、放弃继承的形式要求
继承人放弃继承应当以书面形式向其他继承人、遗产管理人或者人民法院作出明确表示。
这样可以确保放弃继承的意思表示清晰、准确。
在诉讼过程中，如果继承人向人民法院以口头方式表示放弃继承，为了保证其有效性和可追溯性，需要制作笔录，并由放弃继承的人亲自签名确认。
三、放弃继承的时间限定
继承人应在继承开始后、遗产处理前作出放弃继承的表示。
这是为了保证遗产处理的有序性和稳定性。
一旦遗产已经处理完毕，再表示放弃继承是不具有法律效力的，因为此时遗产的分配和归属已经确定。

案情回顾:

小朱是其父母唯一的继承人，父母去世后，小朱书面表示放弃继承权。其父母生前非集体组织成员，未立遗嘱或遗赠协议，对于遗产归属各方产生争议，且有人质疑小朱放弃继承形式及时间是否有效。

案情分析:

1、关于遗产归属，因小朱父母非集体组织成员且无遗嘱、遗赠协议，小朱放弃继承后，遗产应归国家所有。
2、放弃继承形式上，小朱以书面形式作出放弃表示，符合法律要求。若在诉讼中口头表示，需制作笔录并签名确认才有效。
3、时间限定方面，小朱在继承开始后、遗产处理前放弃继承，该放弃行为具有法律效力。