关于遗嘱继承起诉费用的承担问题，具体情况如下：
一、预交费用
在遗嘱继承起诉过程中，预交费用一般由原告来承担。
这是依据《诉讼费用交纳办法》所规定的。
当原告向法院提起诉讼并立案时，就需要按照相关规定预交案件受理费以及其他必要的诉讼费用。
比如，涉及财产分割的遗嘱继承案件，会根据诉讼标的金额的一定比例来计算案件受理费，原告需在立案时将相应费用足额预交。
这一规定是为了保证诉讼程序的正常启动和运行，确保法院有足够的资源来处理案件。
二、最终承担
通常情况下，诉讼费用由败诉方来负担。
这体现了法律对过错方的一种责任追究。
如果在案件审理中，当事人部分胜诉、部分败诉，那么人民法院会综合考虑案件的各种具体情况，如双方的主张、证据的支持程度等，来合理决定当事人各自负担的诉讼费用数额。
另外，若当事人在法庭调查终结后提出减少诉讼请求数额的，减少请求数额部分的案件受理费就由变更诉讼请求的当事人自己负担。
例如，原告最初主张继承较大份额的财产，后来减少了请求数额，那么减少部分的受理费就由原告承担。
三、特殊情况
双方当事人也可以通过协商的方式来分担诉讼费用。
只要协商达成的结果不违反法律规定，法院都会予以认可。
这种协商分担的方式体现了当事人的自主意愿和对自身权利义务的合理安排。

案情回顾:

小朱和小李因遗嘱继承产生纠纷，小朱起诉至法院。小朱按规定预交了费用，包括按标的金额比例计算的受理费。审理后小朱部分胜诉，且其在法庭调查终结后减少了诉讼请求数额。双方对诉讼费用承担存在争议，小朱认为应按规定分担，小李认为应协商分担。

案情分析:

1、预交费用方面，依据规定小朱作为原告承担预交责任，这保证了诉讼程序正常启动，是合理且必要的。
2、最终承担上，小朱部分胜诉，法院应综合案件情况决定双方各自负担费用数额，小朱减少请求数额部分受理费应由其自行负担。
3、特殊情况中，双方虽可协商分担费用，但需符合法律规定，法院才会认可。