在没有完成结婚登记手续的前提下，即表明双方此时正处于共同居住生活的阶段，在此期间所获得的房产，应该以一般的共有财产形式，也就是按份额分享来被看待和处理。
如果这两位当事人在对于争吵中的房产份额方面，未能达成明确的书面协议或者口头约定，那么他们之间的房产份额就需要按照出资的具体金额来加以确认分配。
关于这份房产的后续处理问题，当事人可以先行相互协商解决；假如协商无法达成共识，他们则有权提起诉讼寻求法律援助。
在面对此类案件时，法院通常会根据房产出资的实际情况来做出判决，可能会将房产判给其中的某一位当事人，同时要求该当事人对另一方进行相应的经济补偿，或者选择将房产进行公开拍卖、出售，再将所得款项进行合理的分配。

《民法典》第三百零四条
共有人可以协商确定分割方式。达不成协议，共有的不动产或者动产可以分割且不会因分割减损价值的，应当对实物予以分割；难以分割或者因分割会减损价值的，应当对折价或者拍卖、变卖取得的价款予以分割。