在申请监外执行的过程中，通常遵循以下详细流程：
首先，罪犯本人或者受其委托的亲属、监护者需向负责执行事务的单位提交一份书面申请。
随后，该执行机关将依法对案件进行初步审查评估，若鉴定结果显示申请者符合此类情形，即被视为具有监外执行的资格，该机构会安排对案犯进行相关的疾病诊断、妊娠检验或生活无法自理程度的鉴识。
接下来的步骤是将鉴定结果及其他相关资料递交至监狱管理部门或当地人民法院，以待进一步审核批准。
其中，审批单位将结合罪犯的病情、行为表现以及其他相关因素做出综合判断并最终给出相应决策。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第二百六十五条
【监外执行】对被判处有期徒刑或者拘役的罪犯，有下列情形之一的，可以暂予监外执行：
（一）有严重疾病需要保外就医的；
（三）生活不能自理，适用暂予监外执行不致危害社会的。
对被判处无期徒刑的罪犯，有前款第二项规定情形的，可以暂予监外执行。
对适用保外就医可能有社会危险性的罪犯，或者自伤自残的罪犯，不得保外就医。
对罪犯确有严重疾病，必须保外就医的，由省级人民政府指定的医院诊断并开具证明文件。
在交付执行前，暂予监外执行由交付执行的人民法院决定；在交付执行后，暂予监外执行由监狱或者看守所提出书面意见，报省级以上监狱管理机关或者设区的市一级以上公安机关批准。