私下和解并支付赔偿款项本身并不构成敲诈勒索行为。
私下和解通常发生在双方当事人自愿且地位平等的情况之下，针对特定争议或事件所达成的和解方案以及赔偿金的具体数额。
然而，若其中一方当事人以非法占有他人财产为主要目的，采用威胁或恐吓等手段，强行向对方索取财物，并且其金额达到一定标准或者存在多次此类行为，那么便可以被认定为构成敲诈勒索罪行。

《中华人民共和国刑法》第二百七十四条
【敲诈勒索罪】敲诈勒索公私财物，数额较大或者多次敲诈勒索的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制，并处或者单处罚金；数额巨大或者有其他严重情节的，处三年以上十年以下有期徒刑，并处罚金；数额特别巨大或者有其他特别严重情节的，处十年以上有期徒刑，并处罚金。