在法律层面上，对于构成敲诈勒索罪既遂的犯罪分子所应承担刑事责任的具体规定如下：
实施敲诈勒索行为，而致使公共或者私人财产遭受重大损失或存在连续多次实施此类违法行为之情形者，依照相关法律法规的规定，将被判处三年以下有期徒刑、拘役或者管制，同时需承担相应罚金惩戒；
当其敲诈勒索数额巨大或者在整个案件中具备其他各种严重情节时，其犯罪嫌疑人将会面临三至十年不等的有期徒刑惩处和相应罚金；
此外，还可能存在其他法定的处罚情节。

《中华人民共和国刑法》第十四条
明知自己的行为会发生危害社会的结果，并且希望或者放任这种结果发生，因而构成犯罪的，是故意犯罪。
故意犯罪，应当负刑事责任。
第二百七十四条
敲诈勒索公私财物，数额较大或者多次敲诈勒索的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制，并处或者单处罚金；数额巨大或者有其他严重情节的，处三年以上十年以下有期徒刑，并处罚金；数额特别巨大或者有其他特别严重情节的，处十年以上有期徒刑，并处罚金。