在遭遇拘禁之后，是否有可能申请实施监外执行，则需根据实际情况进行判断。
通常情况下，若被拘留者身患重病且病情严重到必须借助于保外就医方式进行治疗、或正处于妊娠期或哺乳阶段等法定特殊情况时，便可向相关部门提出申请，申请监外执行。
然而，该项申请需要经过严格的审查与评估。
此外，值得强调的是，并非仅仅依照拘禁时间的长短来决定是否能够申请监外执行，而是需要综合考虑多方面的因素，进行全面评估与审核。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第二百六十五条
【监外执行】对被判处有期徒刑或者拘役的罪犯，有下列情形之一的，可以暂予监外执行：
（一）有严重疾病需要保外就医的；
（三）生活不能自理，适用暂予监外执行不致危害社会的。
对被判处无期徒刑的罪犯，有前款第二项规定情形的，可以暂予监外执行。
对适用保外就医可能有社会危险性的罪犯，或者自伤自残的罪犯，不得保外就医。
对罪犯确有严重疾病，必须保外就医的，由省级人民政府指定的医院诊断并开具证明文件。
在交付执行前，暂予监外执行由交付执行的人民法院决定；在交付执行后，暂予监外执行由监狱或者看守所提出书面意见，报省级以上监狱管理机关或者设区的市一级以上公安机关批准。