在罪犯家庭成员申请对该犯罪分子进行监外执行时，首要任务是确定该罪犯是否满足监外执行的具体要求，其中包括但不限于患上了严重的疾病并且必须接受保外就医治疗、正处于怀孕阶段或是在哺乳期育有自己的孩子的妇女以及无法独立完成日常生活活动等情况。
在此基础之上，申请者应做好充分的准备工作，收集并整理出相关的证明文件，如病人的病史资料、医疗诊断报告等等。
随后，递交一份详尽而正式的书面申请书至服刑所在机构或者是执行机构，请求予以考虑和审核。
执行机构将会对此进行全面的评估与核实，若经确认符合监外执行的条件，便会将相关的材料提交给法院，由法院进行最终的裁决。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第二百六十五条
【监外执行】对被判处有期徒刑或者拘役的罪犯，有下列情形之一的，可以暂予监外执行：
（一）有严重疾病需要保外就医的；
（三）生活不能自理，适用暂予监外执行不致危害社会的。
对被判处无期徒刑的罪犯，有前款第二项规定情形的，可以暂予监外执行。
对适用保外就医可能有社会危险性的罪犯，或者自伤自残的罪犯，不得保外就医。
对罪犯确有严重疾病，必须保外就医的，由省级人民政府指定的医院诊断并开具证明文件。
在交付执行前，暂予监外执行由交付执行的人民法院决定；在交付执行后，暂予监外执行由监狱或者看守所提出书面意见，报省级以上监狱管理机关或者设区的市一级以上公安机关批准。